Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．点E在线段BA上从B点以每秒1个单位的速度出发向A点运动，F是射线CD上一动点，在点E、F运动的过程中始终保持EF=5，且CF＞BE，点P是EF的中点，连接AP．设点E运动时间为ts．

（1）在点E运动过程中，AP的长度是如何变化的？______
A．一直变短     B．一直变长    C．先变长后变短    D．先变短后变长
（2）在点E、F运动的过程中，AP的长度存在一个最小值，当AP的长度取得最小值时，点P的位置应该在______．
（3）以P为圆心作⊙P，当⊙P与矩形ABCD三边所在直线都相切时，求出此时t的值，并指出此时⊙P的半径长．．

Answer

（1）由图形可得出在点E运动过程中，由CF大于BE，AP的长度存在一个最小值，如图所示，即当P为AD中点时，AP最小，故AP的长度先变短后变长；
（2）在点E、F运动的过程中，AP的长度存在一个最小值，当AP的长度取得最小值时，点P的位置应该在AD的中点，理由为：由P为EF的中点得到一对边相等，再由一对直角相等及一对对顶角相等，利用AAS可得出三角形AEP与三角形DFP全等，利用全等三角形的对应边相等得到AP=DP，则此时P为AD的中点；
（3）分两种情况考虑：当⊙P在矩形ABCD内分别与AB、AD、CD相切于点Q、R、N时，连接PQ，PR，PN，如图3所示，可得出四边形AQPR和四边形RPND为两个全等的正方形，其边长为大正方形边长的一半，在直角三角形PQE中，由PE与PQ的长，利用勾股定理求出EQ的长，进而由BA+AQ-EQ求出BE的长，即为t的值，并求出此时⊙P的半径；
当⊙P在矩形ABCD外分别与射线BA、AD、射线CD相切于点Q、R、N时，如图4所示，同理求出BE的长，即为t的值，并求出此时⊙P的半径．
【解析】
（1）在点E运动过程中，AP的长度存在一个最小值，即当P为AD中点时，AP最短，
则AP的长度是先变短后变长；

（2）在点E、F运动的过程中，AP的长度存在一个最小值，当AP的长度取得最小值时，如图所示，
∵P为EF的中点，∴EP=FP，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠PDF=90°，
在△AEP和△DFP中，
，
∴△AEP≌△DFP（AAS），
∴AP=DP，
则此时P为AD的中点；

（3）如图3，当⊙P在矩形ABCD内分别与AB、AD、CD相切于点Q、R、N时，
连接PQ、PR、PN，则PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，
则四边形AQPR与四边形RPND为两个全等的正方形，
则PQ=AQ=AR=DR=AD=，
在Rt△PQE中，EP=，由勾股定理可得：EQ=2，
则BE=BA-EQ-AQ=6-2-=，
解得t=．
此时⊙P的半径为；
如图4，当⊙P在矩形ABCD外分别与射线BA、AD、射线CD相切于点Q、R、N时，
类比图3可得，EQ=2，AQ=，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+-2=，
∴t=，此时⊙P的半径为．
故答案为：（1）D；（2）AD的中点