Question

为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产．方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件．另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y₁、y₂与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

Answer

（1）根据题意得出y1与y2与x的函数关系式；
（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为-0.05＜0，可求出y2的最大值；
（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000-200a＞500以及2000-200a＜500．
【解析】
（1）由题意得：
y1=（10-a）x（1≤x≤200，x为正整数）（2分）
y2=10x-0.05x2（1≤x≤120，x为正整数）；（4分）

（2）①∵3＜a＜8，∴10-a＞0，
即y1随x的增大而增大，（5分）
∴当x=200时，y1最大值=（10-a）×200=2000-200a（万美元）（6分）
②y2=-0.05（x-100）2+500（7分）
∵a=-0.05＜0，
∴x=100时，y2最大值=500（万美元）；（8分）

（3）∵由2000-200a＞500，
∴a＜7.5，
∴当3＜a＜7.5时，选择方案一；（9分）
由2000-200a=500，得a=7.5，
∴当a=7.5时，选择方案一或方案二均可；（10分）
由2000-200a＜500，得a＞7.5，
∴当8＞a＞7.5时，选择方案二．（12分）