Question

如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，AC=AB，CB交⊙O于点D，点E为弧AB的中点，连接AD，在不添加辅助线的情况下．
（1）找出图中存在的全等三角形，并给出证明；
（2）图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明．

Answer

（1）根据圆的切线性质可求出∠B、∠C，然后求出∠2=∠3，然后利用全等三角形的判定求证．
（2）利用平行四边形以及梯形的有关知识，先说明四边形ACDE是平行四边形，再说明四边形ACDE是梯形．
【解析】
（1）△DAC≌△ADE．
证明：∵AC=AB，
∴∠C=∠B．
∵AC为⊙O的切线，
∴∠B=∠E=∠1，
∴∠C=∠1=∠E．又，
∴∠2=∠3．
又∠ADB=∠C+∠1，即∠2+∠3=∠C+∠1．
∴∠1=∠2=∠3=∠B=∠C=∠E．
在△DAC和△ADE中，
∵∠C=∠E，∠1=∠2，DA=AD，
∴△DAC≌△ADE．

（2）存在，它们分别为平行四边形ACDE和梯形ACDF．
证明：∵∠C=∠3，∠E=∠3，
∴AC∥DE，AE∥CD．
∴四边形ACDE是平行四边形．又AF与CD相交，
∴四边形ACDF为梯形．