Question

能否把正整数1至10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数的和（a_i+a_i+2）都是3的倍数？

Answer

假设把正整数1至10摆放到一个圆周上，能够使得其中任何两个相间一个数的数的和（ai+ai+2）都是3的倍数，那么这十个数之和的2倍就该是3的倍数，从而得出矛盾，进而得出结论．
【解析】
不能把正整数1到10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数和都是3的倍数．理由如下：
用ai（i=1，2，3，…，10）表示正整数1至10，将正整数1至10任意摆放到一个圆周上，如图，假设此时其中任何两个相间一个数的数的和（ai+ai+2）都是3的倍数，
那么a1+a3，a2+a4，a3+a5，a4+a6，a5+a7，a6+a8，a7+a9，a8+a10，a9+a1，a10+a2，都是3的倍数，
所以（a1+a3）+（a2+a4）+（a3+a5）+（a4+a6）+（a5+a7）+（a6+a8）+（a7+a9）+（a8+a10）+（a9+a1）+（a10+a2）=2（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10）是3的倍数，
而2（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10）=2×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=110，不是3的倍数，
所以假设不成立．
故不能把正整数1至10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数的和（ai+ai+2）都是3的倍数．