Question

某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．

Answer

由已知，显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999-n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101|9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除．
【解析】
“如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999-n也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性．
若六位数是99的倍数，求整数a、b的值．
∵能被9整除，
∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9kl（k1为整数）．①
又∵能被11整除，
∴8-1+a-b+9-3=13+a-b能被11整除，得2+a-b=11k2（k2为整数）．②
∵0≤a，b≤9，
∴0≤a+b≤18，-9≤a-b≤9，
由①、②两式，得3≤＜9k1≤21，-7≤11k2≤11，
知k1=1，或k1=2；k2=0，或，而3+a+b与2+a-b的奇偶性相异，而k1=2，k2=1不符合题意．
故把k1=1，k2=0代入①、②两式，解方程组可求得a=2，b=4．代入所设6位数．即得到812493．
所以，这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．