Question

在直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点P在第一象限内的直线y=-x+4上．设点P的坐标为（x，y）．
（1）在所给的坐标系中画出直线y=-x+4；
（2）求△POA的面积S与变量x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当S=时，求点P的坐标，画出此时的△POA，并用尺规作图法，作出其外接圆（保留作图痕迹，不写作法）．

Answer

（1）先求出直线y=-x+4x轴、y轴的交点，再根据题意画出直线y=-x+4即可；
（2）先写出△POA的面积S的表达式，在将其中的y替换成x的函数即可；
（3）先求出P点坐标，作出△POA，再以△POA两边垂直平分线的交点为圆心、圆心到任一顶点为半径，作圆，即为△POA的外接圆．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）直线y=-x+4分别交x轴、y轴于（4，0）（0，4）；
如图所示：

（2）∵点P在第一象限，
∴点P的纵坐标y的绝对值|y|就是△POA的边OA上高的值，
∴S=•OA•y=y，即S=y，
而点P为线段BC上一点，故y=-x+4，
∴S=（-x+4）=-x+6，
又而点P在线段BC上，自变量x的取值范围为：0＜x＜4
即所求S与变量x的函数关系式为：
S=-x+6（0＜x＜4），

（3）若S=，则有=y，y=3，
代入y=-x+4，得x=1，
∴点P的坐标为（1，3），
用尺规分别作出△POA的OA、OP（或AP）边的垂直平分线，
以两线交点为圆心、圆心到任一顶点为半径，作圆，即为△POA的外接圆（图形略）．【以图形为准给分，不必写作法】