Question

已知：如图1，⊙O与射线MN相切于点M，⊙O的半径为2，AC是⊙O的直径，A与M重合，△ABC是⊙O的内接三角形，且∠C=30°，
计算：弦AB=______，的长度______（结果保留π）
探究一：如图2，若⊙O和△ABC沿射线MN方向作无滑动的滚动，
（1）直接写出：点B第一次在射线MN上时，圆心O所走过的路线的长______点B第二次在射线MN上时，圆心O所走过的路线的长______（结果保留π）
（2）过点A、C分别作AD⊥MN于D，CE⊥MN于E，连接OD、OE，小明通过作图猜想：OD与OE相等，你认为小明的猜想正确吗？请说明你的理由
探究二：
如图3，将半径为R、圆心角为50°的扇形纸片AOB，在射线MN的方向作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为______（用含R的代数式表示，结果保留π）．

Answer

计算：利用圆周角定理以及等边三角形的判定得出AB的长，再利用弧长公式得出的长度；
探究一：（1）利用弧长公式分别求出O点所走过的路线即可；
（2）利用切线的性质定理以及锐角三角函数关系求出OD与OE即可；
探究二：仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可．
【解析】
计算：如图1：连接OB，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
又BO=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=AO=OB=2，
的长度为：=π，
故答案为：2，π；

探究一：（1）点B第一次在射线MN上时，圆心O所走过的路线的长为的长度为：=π，
点B第二次在射线MN上时，圆心O所走过的路线的长为：π+2π×2=π；
故答案为：π，π；

（2）作图如图2所示：
OD=OE，
证明：连接OB，
∵MN与⊙O相切于点B，∴OB⊥MN，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，AB=AC=2，BC=2，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60°∴∠ABD=30°
在Rt△ADB中，BD=AB•cos30°=
显然∠CBE=60°，
在Rt△BEC中，BE=BC•cos60°=，
∴BD=BE，
∴OD=OE；

探究二：
如图3所示：

顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°，滚动距离为；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长=BA′=AB的弧长=R，
第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°，滚动距离为；
所以，O点经过的路线总长S=R+πR+R=πR．
故答案为：πR．