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如图1,在平面直角坐标系中,拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F(4,0)、...

如图1,在平面直角坐标系中,拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F(4,0)、与y轴正半轴交于点E(0,4),边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合,顶点A与点E重合,顶点C与点F重合;
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(1)求拋物线的函数表达式;
(2)如图2,若正方形ABCD在平面内运动,并且边BC所在的直线始终与x轴垂直,抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q.设点A的坐标为(m,n)
①当PO=PF时,分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式;
②当n=2时,若P为AB边中点,请求出m的值;
(3)若点B在第(2)①中的PF所在直线l上运动,且正方形ABCD与抛物线有两个交点,请直接写出m的取值范围.
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(1)已知抛物线的对称轴是y轴,顶点是(0,4),经过点(4,0),利用待定系数法即可求得函数的解析式; (2)①过点P作PG⊥x轴于点G,根据三线合一定理可以求得G的坐标,则P点的横坐标可以求得,把P的横坐标代入抛物线的解析式,即可求得纵坐标,得到P的坐标,再根据正方形的边长是4,即可求得Q的纵坐标,代入抛物线的解析式即可求得Q的坐标,然后利用待定系数法即可求得直线PF的解析式; ②已知n=2,即A的纵坐标是2,则P的纵坐标一定是2,把y=2代入抛物线的解析式即可求得P的横坐标,根据AP=2,且AP∥y轴,即可得到A的横坐标,从而求得m的值; (3)假设B在M点时,C在抛物线上或假设当B点在N点时,D点同时在抛物线上时,求得两个临界点,当B在MP和FN之间移动时,抛物线与正方形有两个交点. 【解析】 (1)由抛物线y=ax2+c经过点E(0,4),F(4,0) ,解得 ∴y=-x2+4 (2)①过点P作PG⊥x轴于点G, ∵PO=PF∴OG=FG ∵F(4,0)∴OF=4 ∴OG=OF=×4=2,即点P的横坐标为2 ∵点P在抛物线上 ∴y=-×22+4=3,即P点的纵坐标为3 ∴P(2,3) ∵点P的纵坐标为3,正方形ABCD边长是4,∴点Q的纵坐标为-1 ∵点Q在抛物线上,∴-1=-x2+4 ∴x1=2,x2=-2(不符题意,舍去) ∴Q(2,-1) 设直线PF的解析式是y=kx+b, 根据题意得:, 解得:, 则直线的解析式是:y=-x+6; ②当n=2时,则点P的纵坐标为2 ∵P在抛物线上,∴2=-x2+4 ∴x1=2,x2=-2 ∴P的坐标为(2,2)或(-2,2) ∵P为AB中点∴AP=2 ∴A的坐标为(2-2,2)或(-2-2,2) ∴m的值为2-2或-2-2 ③假设B在M点时,C在抛物线上,A的横坐标是m,则B的横坐标是m+4,代入直线PF的解析式得:y=-(m+4)+6=-m, 则B的纵坐标是-m,则C的坐标是(m+4,-m-4). 把C的坐标代入抛物线的解析式得:-m-4=-(m+4)2+4,解得:m=-1-或-1+(舍去); 当B在E点时,AB经过抛物线的顶点,则E的纵坐标是4,把y=4代入y=-x+6,得4=-x+6,解得:x=, 此时A的坐标是(-,4),E的坐标是:(,4),此时正方形与抛物线有3个交点. 当点B在E点时,正方形与抛物线有两个交点,此时-1-<m<-; 当点B在E和P点之间时,正方形与抛物线有三个交点,此时:-<x<-2; 当B在P点时,有两个交点; 假设当B点在N点时,D点同时在抛物线上时,同理,C的坐标是(m+4,-m-4),则D点的坐标是:(m,-m-4), 把D的坐标代入抛物线的解析式得:-m-4=-m2+4,解得:m=3+或3-(舍去), 当B在F与N之间时,抛物线与正方形有两个交点.此时0<m<3+. 故m的范围是:-1-<m-或m=2或0<m<3+.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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