Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q．
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一问可求得BQ的值，从而求得l=3-，
所以可得到当m=2时，l有最小值；
（3）因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值，从而就可确定点P的坐标．
（1）证明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△OAP∽△PBQ，则，
即OA•BQ=AP•BP．（3分）

（2）【解析】
∵OA•BQ=AP•BP，即BQ=，
∴l=3-
∴当m=2时，l有最小值．（6分）

（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）；（8分）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3）；
③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立；
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形；（10分）

解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ，
即PA2+AO2=PB2+BQ2（7分）
则m2+32=（4-m）2+（）2（8分）
整理得m4-8m3+16m2-72m+63=0
m4-8m3+7m2+9m2-72m+63=0
m2（m2-8m+7）+9（m2-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m2+9）=0
∴m1=1，m2=7，m2=-9（舍去）
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形．（10分）