Question

在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求的值．

Answer

（1）要证明AD为切线，就必须证明OD和AC垂直，即∠ODC=90°；
（2）求的值，因为EF和AC平行，所以有△BEF∽△BAC，即只要求出即可．
（1）证明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连接OD（1分）
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°（4分）
又∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线（5分）

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225
∴AB=15（7分）
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴
∴
∴
∴BE=2r=，（10分）
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴（12分）