Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB的另一交点为E，AB=9，BD=，则扇形ODE的面积是______．（结果保留π）．

Answer

（1）作出AD的垂直平分线FM，交AB于点O，以点O为圆心AO长为半径作圆得出即可，再利用切线的判定证明OD⊥BC即可；
（2）根据（1）中结论利用勾股定理得出DO的长，进而利用锐角三角函数关系得出∠BOD的度数，利用扇形面积公式求出即可．
【解析】
（1）如图所示；
BC是⊙O的切线，
理由：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D，
∴BC是⊙O的切线．

（2）设OD=x，则OB=AB-AO=9-x，
∵OD⊥BC，
∴DO2+DB2=BO2，
∴x2+（3）2=（9-x） 2，
解得：x=3，
故BO=6，
∵cos∠DOB===，
∴∠DOB=60°，
∴扇形ODE的面积是：S==π．
故答案为：π．