Question

矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处．
（1）求直线OB的解析式；
（2）求经过点E的反比例函数的解析式；
（3）若反比例函数（k＜0）的图象与线段OB有交点，求k的取值范围．

Answer

（1）将B点代入直线OB的解析式y=ax，即可得出答案；
（2）只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解；
（3）将B点坐标代入反比例函数的解析式，求出k的值，即可得出k的取值范围．
【解析】
（1）∵点B的坐标为（，5），
∴设直线OB的解析式为：y=ax，
则5=-a，
解得：a=-，
故直线OB的解析式为：y=-x；

（2）过E点作EF⊥OC于F
由条件可知：OE=OA=5，=tan∠BOC===，
所以EF=3，OF=4
则E点坐标为（-4，3）
设反比例函数的解析式是y=
则有b=-4×3=-12，
∴反比例函数的解析式是y=-．

（3）当反比例函数的图象过B（，5）时，
设反比例函数的解析式是y=，
则有k=-×5=-，
则反比例函数的解析式是y=-，
∵反比例函数（k＜0）的图象与线段OB有交点，根据xy=k，
∴其他点的横纵坐标乘积一定大于-，
故k的取值范围是：-≤k＜0．