Question

如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点P为射线CA上的一个动点，以P为圆心，1为半径作⊙P．
（1）连接PB，若PA=PB，试判断⊙P与直线AB的位置关系，并说明理由；
（2）当PC为______

Answer

（1）首先利用等腰三角形的性质得出AD=BD，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出PD的长，即可得出⊙P与直线AB的位置关系；
（2）分别利用当⊙P与直线AB相切于点M，以及当⊙P′在线段CA的延长线上与直线AB相切于点N，利用相似三角形的性质得出PC的长即可，进而得出当⊙P与直线AB相交时，PC的取值范围；
（3）当△PMN为正三角形，即△PMN是边长为1的三角形，利用cos30°=，求出PH的长，进而得出PA，PC的长，同理可得出当⊙P交在BA的延长线部分时，PC的长．
【解析】
（1）如图1，过点P作PD⊥AB于点D，
∵PA=PB，∴AD=BD，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，
∴AB=，∴AD=，
∵tan∠CAB=，∴PD=＞1，
∴⊙P与直线AB相离；               

（2）如图2，当⊙P与直线AB相切于点M，连接PM，
则PM⊥AB，
∵∠CAB=∠CAB，∠AMP=∠C=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴=，
∵AB=2，
∴=，
解得：PC=4-，
当⊙P′在线段CA的延长线上与直线AB相切于点N，连接PN，
则PN⊥AB，
∵∠NAP′=∠CAB，∠ANP′=∠C=90°，
∴△AP′N∽△ABC，
∴=，
∵AC=4，BC=2，
∴AB==2，
∴=，
解得：P′C=4+，
故当PC为4±时，⊙P与直线AB相切，
则当⊙P与直线AB相交时，写出PC的取值范围为＜PC＜；
故答案为：4±，＜PC＜；   

（3）如图3，当⊙P和线段AB相交时，过点P作PH⊥AB于点H，
∵△PMN为正三角形，即△PMN是边长为1的三角形；
∵cos30°==，
∴，
∵sin∠CAB=，
∴PA=，
∴PC=4-；
当⊙P交在BA的延长线部分时，
过点P′作P′H′⊥AB于点H′，
∵△P′M′N′为正三角形，即△P′M′N′是边长为1的三角形；
∵cos30°==，
∴P′H′=，
∵sin∠CAB=sin∠P′AH′==，
∴P′A=，
P′C=4+．
综上所述，PC=4-或 PC=4+．