Question

如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，且BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连接DF．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：AE²=AD•AC；
（3）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．

Answer

（1）连接OE，首先证明△BCO≌△BEO，可以得到∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB，则AB是⊙O切线；
（2）证明△AED∽△ACE，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得；
（3）首先利用勾股定理即可求得CE的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解析】
（1）证明：连接OE．
∵ED∥OB，∠2=∠OED，∴∠1=∠3．
又OB=OB，OE=OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）  
∴∠BEO=∠BCO=90°，即OE⊥AB，
∴AB是⊙O切线．
（2）连接CE．
∵∠CEO+∠OED=∠OED+∠DEA=90°，∴∠CEO=∠DEA．
又∠CEO=∠4，∴∠4=∠DEA，
又∠A=∠A，∴△AED∽△ACE．
∴=，∴AE2=AD•AC．

（3）∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED=90°，CD=2CO=10．
∴ED=CD•sin∠4=CD•sin∠DFE=10×=6．
∴CE=．
在Rt△CEG中，=sin∠4=，
∴EG=×8=．
根据垂径定理得：EF=2EG=．