Question

如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求证：CA=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积S．

Answer

（1）连接OC，利用切线的性质和圆的半径相等即可证明CA=CD；
（2）过O作OE⊥AC于E，由图可知，图中阴影部分的面积S=S△AOC+S扇形COB，分别求出三角形的面积和扇形的面积即可．
（1）证明：连接OC，
∵过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠A=∠D，
∴CA=CD；

（2）【解析】
过O作OE⊥AC于E，
∵∠A=30°，A0=2，
∴OE=1，
∴AE=CE=，
∴AC=2
∴S△AOC=×AC×OE=，
∵∠COB=60°，OC=2，
∴S扇形COB=•π×4=π，
∴图中阴影部分的面积S=S△AOC+S扇形COB=+π．