Question

已知抛物线y=-x²+bx+c的图象经过A（1，0）、B（0，5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D的两点的坐标和△BCD的面积．

Answer

（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点C的坐标，再把函数解析式转化为顶点式形式求出顶点D的坐标，过D作DE⊥x轴于点E，根据四边形BOCD的面积=△CDE的面积+梯形BOED的面积进行计算，再减去△OBC的面积即可得解．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（0，5），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式是y=-x2-4x+5；

（2）令y=0，则-x2-4x+5=0，
解得，x1=-5，x2=1，
∵A（1，0），
∴C的坐标（-5，0），
∵y=-x2-4x+5=-（x+2）2+9，
∴顶点D的坐标是（-2，9），
过D作DE⊥x轴于点E，
则DE=9，CE=（-2）-（-5）=-2+5=3，OE=2，
四边形BOCD的面积=×3×9+（5+9）×2=+14=27.5，
△BOC的面积=×5×5=12.5，
所以，△BCD的面积=四边形BOCD的面积-△BOC的面积=27.5-12.5=15．