Question

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

Answer

（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）用坐标表示线段的长度则：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．
（2）先用x表示四边形的面积S四边形OCMD=-（x-2）2+4，再利用四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且x=2，可知即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．
（3）结合（ 2 ），当0＜a≤2时，S=4-a2=-a2+4；当2≤a＜4时，S=（4-a）2=（a-4）2，作图即可．注意该图是分段函数．
【解析】
（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4，-x+4＞0），
则：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
∴C四边形OCMD=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．

（2）根据题意得：S四边形OCMD=MC•MD=（-x+4）•x=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且当x=2，
即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．

（3）如图（ 2 ），当0＜a≤2时，S=4-a2=-a2+4，
如图（3），当2≤a＜4时，S=（4-a）2=（a-4）2，
∴S与a的函数的图象如下图所示．