Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α=______度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为______；
②当α=______度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为______；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

Answer

（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，①假设四边形EDBC是等腰梯形，根据题目已知条件及外角和定理可求α，AD；②假设四边形EDBC是直角梯形，根据题目已知条件及内角和定理可求α，AD．
（2）根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比较得BD=BC，可证明四边形EDBC是菱形．
【解析】
（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，
∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
∴△ADO是等腰三角形，
∴AD=OD，
过点O作OF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OF⊥AC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC=1，
∵α=∠EDB-∠A=30°，
∴∠ODF=60°=∠DOF=60°，
∴△ODF是等边三角形，
∴OD=OF=DF=1，
∵∠A=∠α=30°，
∴AD=OD=1；

②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60°，此时，AD=AC×=1.5．

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2，
∴AO==．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD，
AD==，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．