Question

如图，巳知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于    （结果保留根号）．

Answer

根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解析】
∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，
∴=，
∵AB=2AD，S△ABC=，
∴S△ADE=，
在△EAF中，作HF⊥AE交AE于H，
则∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．
又∵S△ADE=，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM=，
∠BCM=30°，
AB=2k，BM=k，CM=k，
∴k=1，AB=2，
∴AE=AB=1，
∴x+x=1，
解得x==．
∴S△AEF=×1×=．