Question

在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，求a，b的值．

Answer

（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；
（2）当a＞0时，根据（a+3）×2=3a，求出a，进一步求出b；当a＜0时，根据（-a+3）×2=-3a求出a进一步求出b．
【解析】
（1）∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），
∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

（2）由题意得：①当a＞0时，（a+3）×2=3a，
∴a=6，
点P（a，3）在直线 y=-x+b上，代入得：b=9
②当a＜0时，（-a+3）×2=-3a，
∴a=-6，
点P（a，3）在直线y=-x+b上，代入得：b=-3，
∴a=6，b=9或a=-6，b=-3．