Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上．
（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式．
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径．
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED+EC+FD+FC最小时，EF的长．
（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）过D作x轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0）．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连MC得MC=，即为半径；
（3）由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，再根据待定系数法求出BD直线解析式，从而得到E，F的坐标，再根据两点坐标公式即可求得EF的长；
（4）先求出直线CP的解析式为y=x-3或y=-x+3，再分情况讨论求得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似时点P、Q的坐标．
【解析】
（1）由题意知C（3，0）、A（0，3）．
如图1，过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2，3）．
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
将（0，3）代入得a=-1，所以y=-x2+2x+3．

（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．
由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC，即yOM=x，
∴M（1，1）．
连MC得MC=，即半径为．

（3）如图2，由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B点坐标为：（-3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：
，
解得：，
故BD直线解析式为：y=x+，
当x=0，y=，根据对称轴为直线x=1，则y=2，
故F（0，）、E（1，2），
EF===．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．
假设存在，显然∠QCP＜90°，则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如图3，当∠QCP=45°时，OR=OC=3，
则R点坐标为（0，-3），将C，R代入y=ax+b得出：
，
解得：，
这时直线CP的解析式为y=x-3，同理可得另一解析式为：y=-x+3．
当直线CP的解析式为y=x-3时，
则x-3=-x2+2x+3，
解得：x1=-2，x2=3，
可求得P（-2，-5），
故PC==5．
设CQ=x，则，
解得：x=或x=15．
∴Q （-，0）或（-12，0）．
当y=-x+3即P与A重合时，CQ=y，则=，
即=，或=，
解得CQ=2或9，
故Q （1，0）或（-6，0）．
如图4，当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连接ED，则ED⊥AC，
∴DE=，EC=2，
易证：△CDE∽△CHQ，
所以=，
∴HO=．
可求HC的解析式为y=x-．
联解，
得P（-，-），PC=．
设CQ=x，知，
∴x=或x=，
∴Q（-，0）或（-，0）．
同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y=-x+．
∴P’（-，），
∴PC=．
∴，
∴CQ=或，所以Q（，0）或（-，0）．
综上所述，P1（-2，-5）、Q1（-，0）或（-12，0）；P2（0，3）、Q2（1，0）或（-6，0）；P3（-，-）、Q3（-，0）或（-，0）；P4（-，）、Q4（，0）或（-，0）．