Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，连接AC交⊙O于E，
（1）则BD与CD的大小有什么关系？说明理由；
（2）若∠C=68°，连接OE，则圆心角∠AOE的度数是多少？为什么？

Answer

（1）首先连接AD，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可证得AD⊥BC，又由AC=AB，根据三线合一的性质，即可证得BD=CD；
（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠AEB=90°，利用三角形外角的性质，即可求得∠EBC的度数，由等角对等边，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．
【解析】
（1）BD=CD．
理由：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴BD=CD；

（2）连接OE，BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠C=68°，
∴∠EBC=90°-∠C=22°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=68°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=68°-22°=46°，
∴∠AOE=2∠ABE=92°．