Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，过C作CD⊥BC交∠ABC的角平分线于点D，且．求△ABC的周长．

Answer

由于∠ABC=90°且BD为∠ABC的角平分线，则∠DBC=45°，易得△BCD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到BC=BD=×=，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，利用30°的正切可计算出AB，易得AC，然后计算△ABC的周长．
【解析】
∵∠ABC=90°且BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=BD=×=，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴tan30°==，
∴AB=×=1，
∴AC=2AB=2，
∴△ABC的周长为3+．