Question

已知：如图，一次函数y₁=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，过A作AC⊥x轴于点C，连接OA、OB、BC．已知OC=4，tan∠OAC=2，点B的纵坐标为-6．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）求四边形OACB的面积．

Answer

（1）由AC垂直于x轴，得到三角形ACO为直角三角形，由OC及tan∠OAC的值，利用锐角三角函数定义求出AC的长，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中确定出m的值，进而求出反比例解析式，将y=-6代入反比例解析式中求出x的值，确定出B的坐标，将A和B的坐标代入一次函数解析式中得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）四边形OABC的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积，而两三角形都为OC为底边，其高分别为A和B的纵坐标，利用三角形的面积公式求出即可．
【解析】
（1）∵AC⊥x轴，tan∠OAC=2，OC=4，
∴在Rt△ACO中，tan∠OAC===2，
∴AC=2，
∴A（-4，2），
又反比例函数y2=过A（-4，2），
∴m=-4×2=-8，
∴y2=-，
∴当y=-6时，x=，
∴B（，-6），
将A和B坐标代入y1=kx+b中，得：，
解得：，
∴y1=-x-4；
（2）S四边形OABC=S△AOC+S△BOC=•OC•|yA|+•OC•|yB|=×2×4+×4×6=16．