Question

如图，正方形ABCD中，E点在边BC上，F点在边CD上，AF⊥ED．
（1）线段AF和DE相等吗？说明理由；
（2）求证：EF²=BE²+FD²．

Answer

（1）由条件可以证明△ADF≌△DCE，从而就可以得出AF=DE．
（2）由△ADF≌△DCE可以得出EC=DF，就可以得出BE=CF，再根据勾股定理就可以得出结论．
【解析】
（1）AF=DE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠ADF=∠DCE=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°
∵AF⊥ED，
∴∠DFA+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
∵，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF=DE．

（2）∵△ADF≌△DCE，
∴DF=CE，
∴DC-DF=BC-CE，
即BE=CF，
在Rt△ECF中，由勾股定理，得
EF2=EC2+CF2，
∴EF2=BE2+FD2．