Question

如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…如此进行下去得到四边形A_nB_nC_nD_n．则四边形A₃B₃C₃D₃的面积    ，四边形A_nB_nC_nD_n的面积    ．

Answer

由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，故矩形A1B1C1D1的面积为6，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，以此类推可得四边形A3B3C3D3的面积；
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为 12×．
【解析】
点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，
得：四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3；
∴四边形A3B3C3D3的面积=．
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为：12×．