Question

已知直线y=-x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B，且抛物线上有不同的两点E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求A，B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点）以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形与PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

Answer

（1）由直线y=-x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，即可求得A，B的坐标，又由抛物线上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相等，即可求得此抛物线的对称轴，利用待定系数法即可求得解析式；
（2）分别从当点P（x，x）在直线AB上时与当点Q（，）在直线AB上时分析，即可求得x的取值范围；
（3）首先求得当点E（x，）在直线AB上时x的值，再分别从当2≤x＜时与当≤x≤4时去分析，注意三角形的面积求解方法与二次函数最大值的求解方法的应用．
【解析】
（1）当x=0时，y=4，即B（0，4），
当y=0时，x=4，即A（4，0），
∵抛物线上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相等，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
∴对称轴x=-==1，
把点A，点B代入抛物线解析式中求得a=，b=1，c=4，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4；

（2）当点P（x，x）在直线AB上时，x=-x+4，
解得x=2，
当点Q（，）在直线AB上时，=-+4，
解得x=4．
所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则2≤x≤4．

（3）当点E（x，）在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）=-x+4，
解得x=．
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，
此时，PC=x-（-x+4）=2x-4，
又PD=PC，
所以S△PCD=PC2=2（x-2）2，
从而：S=x2-2（x-2）2=-x2+8x-8=-（x-）2+．
∵2≤＜，
∴当x=时，Smax=．
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，
此时，QN=（-+4）-=-x+4，
又QM=QN，
∴S△QMN=QN2=（x-4）2，
即S=（x-4）2．
其中当x=时，Smax=．
综合①②得，当x=时，Smax=．