Question

已知二次函数y=ax²+bx+2，它的图象经过点（1，2）．
（1）如果用含a的代数式表示b，那么b=______；
（2）如图所示，如果该图象与x轴的一个交点为（-1，0）．
①求二次函数的表达式，并写出图象的顶点坐标；
②在平面直角坐标系中，如果点P到x轴与y轴的距离相等，则称点P为等距点．求出这个二次函数图象上所有等距点的坐标．
（3）当a取a₁，a₂时，二次函数图象与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）．如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边．试比较a₁和a₂的大小．

Answer

（1）直接将点（1，2）代入抛物线的解析式中，即可得到a、b间的关系式．
（2）①已知抛物线图象上的两点坐标，且只有两个待定系数，利用待定系数法求解即可．
②P到x轴、y轴的距离相等，那么P点必在直线y=x或y=-x上，这两条直线与抛物线的交点，即为符合条件的等距点．
（3）首先根据（1）的结论，用a表示出函数的解析式，然后分别将M、N的坐标代入抛物线的解析式中，分别用m、n表示出a1、a2，通过做差可比较出a1、a2的大小．
【解析】
（1）将（1，2）代入y=ax2+bx+2中，得：
a+b+2=2，得：b=-a．

（2）①∵二次函数y=ax2+bx+c经过点（1，2）和（-1，0）
可得，
解得，
即y=-x2+x+2，
顶点坐标为（，）．

②该函数图象上等距点的坐标即为此函数与函数y1=x和函数y2=-x的交点坐标
，，
解得P1（，）、P2（，-）、P3（1+，-1-）、P4（1-，-1）．

（3）∵二次函数与x轴正半轴交于点（m，0）且a=-b，
∴a1m2-a1m+2=0，即 a1=，
同理 a2n2-a2n+2=0，a2=，
故 a2-a1=-=，
∵n＞m＞1，故 a2-a1=＞0，
∴a1＜a2．