Question

学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米．图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．
（1）要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元．铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

Answer

（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“白色地板砖的面积=4个小正方形的面积+中间矩形的面积”列出一元二次方程求解即可；
（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“总费用=铺白色地面砖的费用+铺绿色地面砖的费用”列出y关于x的函数，求得最小值．
【解析】
（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：
4x2+（100-2x）（80-2x）=5200
整理，得：x2-45x+350=0（3分）
解之，得：x1=35，x2=10，
∴要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为10米或35米．

（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则，
y=30×[4x2+（100-2x）（80-2x）]+20×[2x（100-2x）+2x（80-2x）]
即：y=80x2-3600x+240000
配方得，y=80（x-22.5）2+199500
当x=22.5时，y的值最小，最小值为199500．
∴当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元．