Question

如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置，连接CF₁、AE₁．
（1）求证：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；
（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．
【解析】
（1）证明：
∵四边形OABC为正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE1=OF1．
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1=∠COF1，
∴△OAE1≌△OCF1．                                          （3分）

（2）存在．                                                  （4分）
∵OE⊥OF，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，
则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．                         （5分）
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．
又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，
此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2．             （7分）
当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限．
在直角三角形CF1O中，OC=4，OF1=2，
cos∠COF1==，
∴∠COF1=60°，∴∠AOE1=60°．
∴点E1的横坐标为：xE1=2cos60°=1，
点E1的纵坐标为：yE1=2sin60°=，
∴点E1的坐标为（1，）；（9分）
当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．
同理可求：点E2的坐标为（1，-）．      （10分）
综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，
此时点E的坐标为E1（1，）或E2（1，-）．   （11分）