Question

已知：如图1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC，tan∠CAD=，过点D作DE⊥AB，点E为垂足．
（1）求证：AE+BC=DE；
（2）连接BD，设BD与AC交于点F，DE与AC交于点G，若AG：FG=3：2，AE=6（如图2），求线段BC的长．

Answer

（1）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H，由∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°可知四边形DEBH为矩形，故可得出∠CDH=∠ADE，再由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=AE，故可得出结论；
（2）过点F作FM⊥DE交DE于M，由题意可得==，故可得出AE及FM的长，由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=AE，根据四边形DEBH为矩形得BE=DH；tan∠BDE=，在Rt△DFM′中可得出DM=8，FD=4，设AG=3a（a＞0），AG：FG=3：2，FG=2a，故可得出△DFG∽△AFD，由相似三角形的对应边成比例可求出FD2的值，在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6，AE=6，在Rt△FMG中，∠FMG=90°，FG=4，FM=4，GE=6，DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，+BC=DE，BC=DE-=18-3=15．
【解析】
（1）如图1，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
∵∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°，
∴四边形DEBH为矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDH=∠ADE，
又∵∠DHC=∠AED=90°，
∴△DCH∽△DAE，
∴==，
∴CH=AE，
∵DE=BH而BH=BC+CH=BC+AE，
∴+BC=DE．

（2）如图2，过点F作FM⊥DE交DE于M，
∴∠FMG=90°，
又∵∠AED=90°，
∴∠FMG=∠AED，而∠FGM=∠AGE，
∴==，
∵AE=6，
∴FM=4，
由（1）知，△DCH∽△DAE，
∴==，而由四边形DEBH为矩形得BE=DH，
∴=，
∴tan∠BDE=，
在Rt△DFM′中，∠FMD=90°，tan∠FMD=，FM=4，
∴DM=8，FD=4，
设AG=3a（a＞0），
∵AG：FG=3：2，
∴FG=2a，
∵∠DFG=∠AFD，∠BDE=∠DAC，
∴△DFG∽△AFD，
∴=，
∴FD2=FA•FG，
∴（4）2=（3a+2a）•2a，
∴a=2，
∴FG=4，AG=6，
在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6，AE=6，
∴GM=4，
在Rt△FMG中，∠FMG=90°，FG=4，FM=4，
∴GE=6，
∴DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，
∵+BC=DE，
∴BC=DE-=18-3=15．