Question

已知▱ABCD中，AB=，AD=2，∠D=45°，▱EBGF是由▱ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，连接AE，CG
（1）求的值；
（2）求四边形AECD的面积．

Answer

（1）由旋转的性质，易证得△ABE∽△CBG，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值；
（2）首先过点C作CH⊥AD于H，求出平行四边形ABCD的高和面积而△BCG的面积是平行四边形BFGE面积的一半，可得△ABE的面积，再过点C作△BEC的高CK，设CK=h，由勾股定理可得方程：（+h）2+h2=22，解方程求得h的值，继而求得△BCE的面积，则可求得四边形AECD的面积．
【解析】
（1）∵▱EBGF是由▱ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，
∴∠ABE=∠CBG，AB=EB，BC=BG，
∴，
∴△ABE∽△CBG，
∴=，
∵▱ABCD中，AB=，AD=2，
∴BC=AD=2，
∴=；

（2）过点C作CH⊥AD于H，
∵∠D=45°，CD=AB=，
∴CH=CD•sin60°=，
∴S▱BEFG=S▱ABCD=AD•CH=2×=，
∴S△BCG=S▱ABCD=，
∵△ABE∽△CBG，
∴△ABE与△BCG的面积比为3：4，
∴S△ABE=×=，
过点C作△BEC的高CK，设CK=h，
∵BE∥GF，∠F=∠D=45°，
∴∠KEC=∠F=45°，
∴EK=EC=h，
∴BK=BE+EK=+h，
在Rt△BKC中，BK2+CK2=BC2，
即（+h）2+h2=22，
解得：h=，
∴S△BCE=BE•CK=××=，
∴S四边形AECD==．