Question

已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG=4，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE=6时，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer

（1）连接OC．欲证FD是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）由条件可以知道E是AC的中点，O是AB的中点，就可以得出G是△ABC的重心，根据三角形的重0）定理就可以求出OC的长得出其结论．
（3）由条件可以求出sin∠ACO=，就可以求出∠ACO=30°，可以求出∠DOC=60°，从而求出CD的值，求出S△DOC的面积，求出扇形COB的面积就可以求出阴影部分的面积．
【解析】
（1）证明：连接OC．
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠CAO=∠ACO（等边对等角），即∠EA0=∠ECO，
又∵OE⊥AC，
∴∠CEO=∠AEO=90°，
∴∠AOE=∠COE，∠EOC+∠OCE=90°，
∴∠AOE+∠OCE=90°，
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠FCA+∠OCE=90°．
即∠FCO=90°．
∴OC⊥DF，
∴FD是⊙O的切线；
（2）连接BE交OC于G，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴G是△ABC的重心，
∴CG=2GO．
∵GO=4，
∴CG=8，
∴OC=8+4=12．
∴⊙O半径的长为12．
（3）∵OE⊥AC，OE=6，OC=12，
∴sin∠ACO=，
∴∠ACO=30°，
∴∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴tan∠COD=tan60°==，且OC=12，
∴CD=12．
∴S△COD=12×12÷2=72．
S扇形COB==24π，
∴阴影部分的面积为：72-24π．