Question

如图，在△ABC中，BC=3，S_△ABC=3，B₁C₁所在四边形是△ABC的内接正方形，则B₁C₁的长为    ； 若B₂C₂所在四边形是△AB₁C₁的内接正方形，B₃C₃所在四边形是△AB₂C₂的内接正方形，依此类推，则B_nC_n的长为    ．

Answer

过点A作AD⊥BC于点D，交B1C1于点E，交B2C2于点F，由B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，易证得△AB1C1∽△ABC，由在△ABC中，BC=3，S△ABC=3，可求得高AD的长，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得B1C1的长，同理可求得B2C2与B3C3的长，观察即可得规律：BnCn=3×
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，交B1C1于点E，交B2C2于点F，
∵B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，
∴B1C1∥BC，AD⊥B1C1，ED=B1C1，
∴△AB1C1∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=3，S△ABC=3，
∴S△ABC=BC•AD=×3AD=3，
∴AD=2．
设B1C1=x，则AE=2-x，
∵△AB1C1∽△ABC，
∴=，即=，
解得，x=．
同理：△AB2C2∽△AB1C1，
∴=，
∵AE=2-=，
∴设B2C2=y，则AF=-y，
∴y=，
即B2C2==3×，
同理：B3C3=3×；
∴BnCn=3×；
故答案是：；3×．