Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，1）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（2，-3）．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上的动点，若以A、B、P、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标；
（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m+n的最小值．

Answer

（1）设抛物线顶点式解析式y=ax2+1，然后把点P的坐标代入进行计算即可得解；求出抛物线与x轴的交点A、B，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线DB的解析式，令x=0求出y的值即可得到点D的坐标；
（2）根据梯形的底边互相平行，分①AP∥BE，求出直线AP的解析式，再根据平行直线的解析式的k值相等求出直线BE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；②AB∥PE，根据抛物线的对称性可得点E与点P关于y轴对称；③BP∥AE，根据平行直线的解析式的k值相等求出AE的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点E的坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据点A、B、P的坐标可以求出∠APM=60°，∠BPM=30°，∠APN=30°，然后求出PA是∠BPN的平分线，过点F作FH⊥PN于点H，连接DF、DH，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FH=m，根据三角形的三边关系可得当点D、F、H三点共线时，m+n的值最小，此时，点F为直线AP与y轴的交点，m+n=PN，然后求解即可．
【解析】
（1）∵抛物线顶点为C（0，1），
∴设抛物线的解析式是y=ax2+1，
又∵点P（2，-3）在抛物线上，
∴a（2）2+1=-3，
解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+1；
令y=0，则-x2+1=0，
解得x1=-，x2=，
∵点A在点B的左侧，
∴点A（-，0），点B（，0），
设直线DP的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DP的解析式为y=-x+3，
令x=0，则y=3，
所以，点D的坐标为（0，3）；

（2）①AP∥BE时，设直线AP的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
所以，直线AP的解析式为y=-x-1，
设直线BE的解析式为y=-x+g，
则-×+g=0，
解得g=1，
所以，直线BE的解析式为y=-x+1，
联立，
解得，（为点B的坐标），
所以点E的坐标为（0，1）；
②AB∥PE时，∵抛物线关于y轴对称，
∴点E为点P（2，-3）关于y轴的对称点，
∴点E（-2，-3）；
③BP∥AE时，∵直线DP的解析式为y=-x+3，
∴设直线AE的解析式为y=-x+h，
则-×（-）+h=0，
解得h=-3，
∴直线AE的解析式为y=-x-3，
联立，
解得，（为点A坐标），
所以，点E坐标为（4，-15），
综上所述，点E坐标为（0，1），（-2，-3），（4，-15）；

（3）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵A（-，0），B（，0），P（2，-3），
∴tan∠APM===，
tan∠BPM===，
∴∠APM=60°，∠BPM=30°，
∴∠APB=∠APM-∠BPM=60°-30°=30°，
又∵PN∥AM，
∴∠APN=∠PAM=90°-60°=30°，
∴∠APB=∠APN，
点F在直线AP上，过点F作FH⊥PN于点H，根据角平分线的性质可得FH=m，
连接DF、DH，根据三角形的三边关系，DF+FH＞DH，
即m+n＞DH，
所以，当点D、F、H三点共线时，m+n的最小值，
此时，点F为直线AP与y轴的交点，点H、N重合，
最小值m+n=3-（-3）=3+3=6．