Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合）．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求CD的长及∠1的度数；
（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

Answer

（1）将AB平移，使点A与点D重合，利用勾股定理，则可得出CD的长度，根据CD与AD的长度关系可得出∠DAC的度数，也就得出了∠1的度数．
（2）根据点G落在BC上时，有GE=DE=x，EC=，求出∠GEF=∠GEC=60°，然后根据GE=2CE列出方程即可得出x的值．
（3）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可．
【解析】
（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=6×=3，AH==3，
∵∠D=∠BCD=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴CD=AH=3，
∵AD=9，
∴tan∠DAC==，
∴∠DAC=30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠DAC=30°，
∴CD=，∠1=30°；

（2）若点G恰好在BC上，
则有GE=DE=x，EC=，
∵∠1=30°，
∴∠FED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴∠GEC=60°，
∴GE=2CE，
∴，
∴；

（3）∵△EFG≌△EFD，
①，当时，y随着x的增大，面积增大，
此时△的面积就是重叠的面积，当时，达到最大值，为．
②当3＞，△EFG就有一部分在梯形外，如图，
∵GE=DE=x，EC=，
易求，
∴，
∴NG=，
∴，
此时，
=，
当时，．
综上所述．当时，．