Question

如图，矩形ABCD，M为CD中点，点E在线段MC上运动，GH垂直平分AE，垂足为O，分别交于AD、BC于点G、H，AB=3，BC=4．
（1）求AE：GH；
（2）设CE=x，四边形AHEG的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AHEG的形状，并说明理由．

Answer

（1）过H作HF⊥AD，先根据垂直证明∠EAD=∠GHF，然后证明△AED与△HGF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可；
（2）先表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理表示出AE，再根据AE、GH的比值表示出GH，然后即可求出四边形AHEG的面积为y，根据x的取值范围及二次函数的最值问题即可求解，当x=0时面积最大，也就是点C与点E重合时，此时先证明△AOG与△EOH全等，根据全等三角形对应边相等得到OG=OH，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判断．
【解析】
（1）如图，过H作HF⊥AD，
则∠HFG=90°，
∵GH垂直平分AE，垂足为O，
∴∠AOG=90°，
∴∠EAD+∠AGO=90°，∠GHF+∠AGO=90°，
∴∠EAD=∠GHF，
又∵∠HFG=∠D=90°，
∴△AED∽△HGF，
∴=，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴AD=BC=4，HF=AB=3，
∴AE：HG=4：3；

（2）∵CE=x，
∴DE=3-x，
在Rt△ADE中，AE===，
∴GH=，
∵GH垂直平分AE，
∴y=S△AGE+S△AHE=×AE×OG+×AE×OH
=×AE×（OG+OH）
=×AE×GH
=××
=（3-x）2+6，
即y=（3-x）2+6，
∵M为CD中点，
∴0≤x≤1.5，
∴当x=0时，y取最大值，最大值为9.375，
此时点E与点C重合，四边形AHEG是菱形，
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAG=∠OEH，
∵GH垂直平分AE，垂足为O，
∴OA=OE，∠AOG=∠EOH，
在△AOG与△EOH中，
，
∴△AOG≌△EOH（ASA），
∴OG=OH，
∴AE与GH互相垂直平分，
∴四边形AHEG是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．