如图,抛物线y=ax
2+bx+c与x轴交于A(x
1,0)、B(x
2,0)两点,与y轴交于C点,对称轴与抛物线相交于点P,与直线BC相交于点M,连接PB.已知x
1、x
2恰是方程x
2-2x-3=0的两根,且sin∠OBC=
.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
考点分析:
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在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60度.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.
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在锐角△ABC中,AB=AC,∠A使关于x的方程
x
2-sinA•x+
sinA-
=0有两个相等的实数根.
(1)判断△ABC的形状;
(2)设D为BC上的一点,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DE=m,DF=n,且3m=4n和m
2+n
2=25,求AB的长.
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已知:在⊙O中,AB是直径,AC是弦,OE⊥AC于点E,过点C作直线FC,使∠FCA=∠AOE,交AB的延长线于点D.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)设OC与BE相交于点G,若OG=4,求⊙O半径的长;
(3)在(2)的条件下,当OE=6时,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号)
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选做题
甲题:如图1,由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°,从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B,再次测得山顶D的仰角为60°,求山高CD.(结果保留根号)
乙题:如图2,Rt△ABO的顶点A是双曲线
与直线y′=-x-(k+1)在第二象限的交点,AB⊥x轴于B且S
△ABO=
.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标,并写出当x在什么范围取值时,y′≥y.
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如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:四边形CFDE是正方形;
(2)若AC=3,BC=4,求△ABC的内切圆半径.
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