Question

如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．
（1）试判断直线BE与⊙O的位置关系；并说明理由．
（2）若OA=10，BC=16，求BE的长．

Answer

（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°根据平行线性质得出∠ODB=∠ACB=90°，求出∠BOD+∠OEB=90°，即∠OBE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出AC，根据解直角三角形求出tanA==tan∠BOE，根据tan∠BOE==，求出BE即可．
【解析】
（1）BE与⊙O的相切，
理由是：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴∠BOD+∠ABC=90°，
又∵∠OEB=∠ABC，
∴∠BOD+∠OEB=90°，
∴∠OBE=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）∵在Rt△ACB中，AB=2OA=20，BC=16，
∴由勾股定理得：AC===12，
∴tanA===，
∠BOE=∠A，
∴tan∠BOE==，
∴BE=OE=×10=13．