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我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四...

我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时,从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F,利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题:
(1)当直线l与方形环的对边相交时(如图1),直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N,小明发现MM′与N′N相等,请你帮他说明理由;
(2)当直线l与方形环的邻边相交时(如图2),l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N,l与DC的夹角为α,你认为MM′与N′N还相等吗?若相等,说明理由;若不相等,求出manfen5.com 满分网的值(用含α的三角函数表示).
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(1)证线段相等,可证线段所在的三角形全等.结合本题,证△MM′E≌△NN′F即可; (2)由于M′E∥CD,则∠EM′M=∠FNN′=α,易证得△FNN′∽△EM′M,那么MM′:NN′=EM′:FN;而EM′=FN′,则比例式可化为:==tanα,由此可知:当α=45°时,MM′=NN′;当α≠45°时,MM′≠NN′. (1)【解析】 在方形环中, ∵M'E⊥AD,N'F⊥BC,AD∥BC, ∴M'E=N'F,∠M'EM=∠N'FN=90°,∠EMM'=∠N'NF, ∴△MM'E≌△NN'F. ∴MM'=N'N;(5分) (2)解法一:∵∠NFN'=∠MEM'=90°,∠FNN'=∠EM'M=α, ∴△NFN'∽△M'EM.                                          (8分) ∴. ∵M'E=N'F, ∴(或).                           (10分) ①当α=45°时,tanα=1,则MM′=NN′; ②当α≠45°时,MM′≠NN′, 则(或).                                 (12分) 解法二:在方形环中,∠D=90°, 又∵M′E⊥AD,N′F⊥CD, ∴M′E∥DC,N′F=M′E. ∴∠MM′E=∠N′NF=α. 在Rt△NN′F与Rt△MM′E中, , 即(或).                                   (10分) ①当α=45°时,MM′=NN′; ②当α≠45°时,MM′≠NN′,则(或).          (12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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