Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，交BD于F，
（1）求证：2AD²=DF•DB；
（2）若BF、FD（BF＜DF）是关于x的方程x²-3mx+2m²=0的两根，且AB=4，求菱形的面积．

Answer

（1）先根据菱形的性质得出AD∥BC，OB=OD，AC⊥BD，再由AE⊥BC可得出△ADO∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例可得出=，再由OD=BD即可得出结论；
（2）先用m表示出一元二次方程x2-3mx+2m2=0的两根，故可得出BF及DF的值，再由相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△EBF，故可得出==，故可得出E是BC的中点，在Rt△ABE中利用勾股定理可求出AE的长，由菱形的面积公式即可得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠EAD=∠AOD=90°，
∵∠ADO=∠ADO，
∴△ADO∽△FAD，
∴=，
∴AD2=DF•DO，
∵OD=BD，
∴2AD2=DF•BD；

（2）【解析】
∵x2-3mx+2m2=0，
∴x1=m，x2=2m，即BF=m，DF=2m，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC，∠BEA=∠EAD，
∴△ADF∽△EBF，
∴==，
∴E是BC的中点，
在Rt△ABE中，
∵AE===2，
∴S△ABC=BC•AE=4×2=8．