Question

如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．

Answer

过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．

证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DFB=∠DNC=90°，
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵，
∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）
∴BF=CN，
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）
∴AN=AF，
∴BF=AC+AN=AC+AF，
即BF=AF+AC．