Question

先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．
（1）计算以下各对数的值：log₂4=______，log₂16=______，log₂64=______．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：log_aM+log_aN=______（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m+n以及对数的含义证明你的猜想．

Answer

（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；
（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；
（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．
【解析】
（1）log24=2，log216=4，log264=6；

（2）log24+log216=log264；

（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．
证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，
故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），
即logaM+logaN=loga（MN）．