Question

已知，如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且BE=CF．
求证：AE⊥BF．

Answer

根据正方形的四条边都相等可得AB=BC，每一个角都是直角可得∠ABC=∠C=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CBF，再根据正方形的四个角都是直角可得∠ABF+∠CBF=90°，然后求出∠BAE+∠ABF=90°，设AE、BF相交于点G，进而得到∠AGB=90°，再根据垂直的定义得证．
证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
设AE、BF相交于点G，
则∠AGB=180°-（∠BAE+∠ABF）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．