Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于E，DE⊥BE．
（1）已知DE=4，BE=6，求tan∠CBE的值．
（2）证明：AC是⊙O的切线．

Answer

（1）根据角平分线的性质和锐角的正切函数的定义求得tan∠CBE=tan∠EBD=；
（2）连接OE．欲证AC是⊙O的切线，只需证明OE⊥AC即可．
【解析】
（1）∵DE⊥BE，∴∠BED=90°．
在Rt△BED中，DE=4，BE=6，
则tan∠EBD==．
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=∠EBD，
∴tan∠CBE=tan∠EBD=；

（2）连接OE．
∵OE=OB（圆O的半径），
∴∠EBO=∠OEB（等边对等角）．
又∵∠CBE=∠EBD，即∠CBE=∠EBO（角平分线的性质），
∴∠OEB=∠CBE（等量代换），
∴BC∥OE（内错角相等，两直线平行）．
又∵∠C=90°，
∴∠OEA=90°，即OE⊥AC，
又∵点E在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．