Question

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-1，判断下列抛物线②y=-x²+2x+1；③y=2x²+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联，求抛物线C₂的解析式．

Answer

（1）首先求出抛物线①的顶点坐标，代入抛物线②、③中进行验证，然后再求得抛物线②、③的顶点坐标代入①中进行验证，根据定义的抛物线关联条件即可进行判断．
（2）根据新定义，若抛物线C1、C2关联，它们的顶点坐标在对方的函数图象上；抛物线C1绕点P旋转180°后，所得C2的顶点与抛物线C1的顶点关于点P对称，显然它们的纵坐标到直线y=2的距离相等（点P在直线y=2上），可据此求出抛物线C2的顶点纵坐标，代入抛物线C1的解析式后即可求出抛物线C2的顶点，将C2的解析式设为顶点式，再将C1的顶点坐标代入其中即可确定抛物线C2的解析式．
【解析】
（1）∵抛物线①y=x2+2x-1=（x+1）2-2，其顶点坐标为M（-1，-2）．
经验算，点M在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的；
抛物线②y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，其顶点坐标为N1（1，2），
经验算点N1在抛物线①上，
所以抛物线①、②是关联的，物线①与抛物线③不是关联的．

（2）抛物线C1：的顶点M的坐标为（-1，-2），
因为动点P的坐标为（t，2），所以点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，则ME=NF=4，所以点N的纵坐标为6．
当y=6时，，解之得，x1=7，x2=-9．
∴N（7，6）或N（-9，6）．
设抛物线C2的抛物线为y=a（x-7）2+6．
因为点M（-1，-2）在抛物线C2上，∴-2=a（-1-7）2+6，．
∴抛物线C2的解析式为；
设抛物线C2的抛物线为y=a（x+9）2+6．
因为点M（-1，-2）在抛物线C2上，∴-2=a（-1+9）2+6，．
∴抛物线C2的解析式为．