Question

如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB的中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且，求的长．

Answer

由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切线；
根据三角函数公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因为OA=OB，从而得出∠AOB=120度．由弧长公式可求得的长为．
（1）证明：连接OC．（1分）
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∵C在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线．（2分）

（2）【解析】
过B点作BD⊥AO，交AO的延长线于D点．
由题意有AB=2BD，．
在Rt△ABD中，根据正弦定义，
∴∠A=30度．（3分）
在Rt△ACO中，，∠A=30°，
则AO=2OC．
由勾股定理，求得OC=2．（4分）
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120度．
由弧长公式可求得的长为．（5分）