Question

如图，已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数的图象上，其中m，n是一元二次方程
x²-2ax+a²-1=0的两根
（1）写出m与n的数量关系______；并求出a的值；
（2）设直线AB与x轴交于点C，AD⊥x轴于D点，E点与C点关于直线AD对称，连接EB交AD于P点，求AP的长度．

Answer

（1）将点A（1，m），B（2，n）代入反比例函数得，m=k1，n=，即可求出m、n的关系式，再根据m，n是一元二次方程x2-2ax+a2-1=0的两根，求出m、n与a的关系式，列方程组求出a的值；进而求出m、n的值及a的值．
（2）由（1）计算可知，点A（1，4），B（2，2），据此求出反比例函数解析式和一次函数的解析式，根据一次函数解析式求出C点坐标，再根据对称性求出E点坐标，进而得到一次函数EB的解析式，再求出P点坐标，从而得到AP的长度．
【解析】
（1）将点A（1，m），B（2，n）代入反比例函数得，
m=k1，n=，
即m=2n，
又∵m，n是一元二次方程x2-2ax+a2-1=0的两根，
∴m+n=2a，mn=a2-1，
组成方程组得，
解得a=±3．
当a=-3时，原方程可化为x2+6x+8=0，此时，m+n=-6，与图中所示m、n均为正数数矛盾，故a=3．
此时，解得2n2=8，n=±2；由于n为正数，故n=2，此时，m=4．
（2）由（1）计算可知，点A（1，4），B（2，2），反比例函数解析式为y=．
设AB的解析式为y=kx+b，把A（1，4），B（2，2）分别代入解析式得，
解得，
函数解析式为y=-2x+6．
当y=0时，-2x+6=0，x=3，即C点坐标为（3，0）．由于E点与C点关于直线AD对称，D点坐标为（1，0），
则E点坐标为（-1，0）．
设EB的解析式为y=cx+t，把E（-1，0）、B（2，2）分别代入解析式得，
解得，函数解析式为y=x+．
当x=1时，y=，即P点坐标为（1，），AP=4-=．