Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S_△ABF=3S_△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）个．

A．5
B．4
C．3
D．2

Answer

要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE=CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD=∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF=FH=HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF=DF，S△ABF=3S△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．
【解析】
∵D是BC的中点，且DE⊥BC
∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD
∴CE=BE，故本答案正确；
∴∠C=∠7
∵AD=AB
∴∠8=∠ABC=∠6+∠7
∵∠8=∠C+∠4
∴∠C+∠4=∠6+∠7
∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确；
作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD=AB，DE⊥BC，
∴∠2=∠3，DG=BG=BD，DE∥AG
∴CDE△∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1
∴CD：CG=DE：AG，HG=DE
设DG=x，DE=y，则GB=x，CD=2x，CG=3x
∴2x：3x=2y：AG，
解得：AG=3y，HG=y
∴AH=2y
∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1
∴DEF△≌△AHF
∴AF=DF，故本答案正确；
EF=HF=EH，且EH=BH
∴EF：BF=1：3
∴S△ABF=3S△AEF
∵S△DEF=S△AEF
∴S△ABF=3S△DEF，故本答案正确；
∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3
∴∠5=∠3+∠4
∴∠5≠∠4
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误．
综上所述：正确的答案有4个．
故选B．