Question

已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，对角线CA⊥BA，AB=AC=8cm，四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转45°得到的，A₁D₁经过点C，B₁C₁分别与AB、BC相交于点P、Q．
（1）求四边形CD₁C₁Q的周长；（保留无理数，下同）
（2）求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积S；
（3）如图（2），将平行四边形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右匀速运动，当运动到B₁C₁在直线AC上时停止运动．设运动的时间为x（秒），两个平行四边形重合部分的面积为y（cm²）．求y关于x的函数关系式，并探索是否存在一个时刻x，使得y取最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请你说明理由．

Answer

（1）先由图形旋转的性质得出△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，故∠BCA=∠D1=45°，所以CQ∥D1C1，四边形CD1C1Q是平行四边形，由平行四边形的性质可知C1D1=B1A1=AB=8，CD1=A1D1-AC=8-8，故可得出结论；
（2）在等腰直角△A1B1P中，由A1B1=8，可求出PA1，PQ的长，再由梯形的面积公式即可求出四边形APQC的面积；
（3）当平行四边形A1B1C1D1运动到点C1在BC上时，如图②，则C1与Q重合，这时运动距离为C1H （如图①），所以C1 H=QC1=CD1=8-8，这时运动时间 x=8-8，当若0≤x≤8-8时，y=S四边形ABCD-S△BPQ-S△A2C2D，由此可得出y与x的函数关系式，由二次函数的顶点坐标可求出y的最大值；当8-8≤x≤4时，由P C1=PA1=4，AA1=A1A2=x，C2C3=C2D1=8-8，所以y=S梯形A1PC1D1-S△AA1A2-S△C2C3D1，故可得出y与x的函数关系式，由二次函数的顶点坐标可求出y的最大值，比较出两最值的大小即可．
【解析】
（1）∵由条件可知△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠D1=45°，
∴CQ∥D1C1，
∴四边形CD1C1Q是平行四边形．
∴C1D1=B1A1=AB=8，CD1=A1D1-AC=8-8．   
∴四边形CD1C1Q的周长为[（8-8）+8]×2=16（cm）． 

（2）如图①，
∵在等腰直角△A1B1P中，A1B1=8，
∴PA1=4，PQ=BP=8-4． 
∴两个平行四边形重合部分的面积为：
S=S四边形APQC==（32-16）（cm2）．

（3）∵当平行四边形A1B1C1D1运动到点C1在BC上时，如图②，则C1与Q重合，这时运动距离为C1H （如图①），
∴C1 H=QC1=CD1=8-8这时运动时间 x=8-8．
①若0≤x≤8-8，如图③，AA1=x，AP=4-x，
PQ=BP=AB-AP=8-（4-x）=x+8-4，A2C2=8-x．
y=S四边形ABCD-S△BPQ-S△A2C2D=AB×AC-×BP2-×C2D2
=8×8-×（x+8-4）2-×（8-x）2=-x2+4x+32-16．
∵，0＜＜8-8，
∴当x=时，y最大1=32-8．
②若8-8≤x≤4，如图④，
∵P C1=PA1=4，AA1=A1A2=x，C2C3=C2D1=8-8．
∴y=S梯形A1PC1D1-S△AA1A2-S△C2C3D1==-x2+64-48．
∵-＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴x在8-8≤x≤4范围内，也是y随x的增大而减小，
∴当x=8-8时，y最大2=128-144．
∵y最大2=128-144=（32-8）+（96-136）=y最大1+8（12-17）且8（12-17）＜0，
∴y最大2＜y最大1．（得出结论即可）
∴当x=2秒时，y取最大值，这个最大值是（32-8）cm2．